為什么0.1+0.2=0.30000000000000004

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問(wèn)題

在計(jì)算機(jī)的世界里，可能有很多常人無(wú)法理解的事情。比如 0.1 + 0.2 = ？。來(lái)，告訴我你的答案。

有的朋友看到這就迫不及待的說(shuō)，這么簡(jiǎn)單的問(wèn)題，很明顯等于 0.3 啊，小學(xué)生都會(huì)算的好伐。你這是在侮辱我的智商？

好吧，我來(lái)告訴你一個(gè)打臉的事實(shí)，0.1 + 0.2 還真不等于 0.3 。先別急著反駁我。

打開(kāi)你的任意一個(gè)瀏覽器（我用chrome做演示），F(xiàn)12打開(kāi)console控制臺(tái)，輸入 console.log(0.1 + 0.2)
。如果你操作正確的話，你會(huì)看到以下的結(jié)果。



是不是感覺(jué)匪夷所思，what？為什么結(jié)果是0.30000000000000004，這是神魔鬼？ 難道，我這么多年學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，老師教的都是錯(cuò)的？

別著急。其實(shí)，你的老師教的沒(méi)錯(cuò)，在我們的世界中，0.1 + 0.2 確實(shí)是等于 0.3 的。但是，在計(jì)算機(jī)中，可就不是這么一回事了。待我娓娓道來(lái)。


因?yàn)?，我們?cè)谟?jì)算數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，用的是十進(jìn)制，計(jì)算出來(lái)結(jié)果是0.3沒(méi)問(wèn)題。但是，在計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制，都是由0和1來(lái)組成。這就不得不提一下，十進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制了。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換二進(jìn)制的步驟：(以10.25為例)

1.先轉(zhuǎn)換整數(shù)部分，除2直到商為0，倒數(shù)取余。
10/2 ... 商5...余數(shù)0 5/2 ...商2...余數(shù)1 2/2 ...商1...余數(shù)0 1/2 ...商0...余數(shù)1
倒數(shù)取余，就是1010

2.再轉(zhuǎn)換小數(shù)部分，乘2取整，直到小數(shù)部分為0.
0.25*2 ... 0.50 ...整數(shù)0 0.50*2 ... 1.0 ...整數(shù)1
小數(shù)部分為0，結(jié)束，即為01

因此10.25(10)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，結(jié)果就是 1010.01(2)

聰明的你，類比以上方法，應(yīng)該可以動(dòng)手去算一下十進(jìn)制0.1轉(zhuǎn)成二進(jìn)制是多少了。
0.1*2 ... 0.2 ...整數(shù)0 0.2*2 ... 0.4 ...整數(shù)0 0.4*2 ... 0.8 ...整數(shù)0 0.8*2 ... 1.6
...整數(shù)1 0.6*2 ... 1.2 ...整數(shù)1 0.2*2 ... 0.4 ...整數(shù)0
等等，怎么感覺(jué)進(jìn)入死循環(huán)了，小數(shù)部分乘以2，一直乘不到小數(shù)部分為0

就像十進(jìn)制中1/3，結(jié)果是0.3(3...)這樣的問(wèn)題一樣，0.1轉(zhuǎn)成二進(jìn)制時(shí)也會(huì)存在精度問(wèn)題，我們需要進(jìn)行取舍。

我們看一下0.1在計(jì)算機(jī)中是怎么存儲(chǔ)的。對(duì)此，需要了解一下浮點(diǎn)數(shù)的概念。

浮點(diǎn)數(shù)


浮點(diǎn)數(shù)，顧名思義，小數(shù)點(diǎn)是浮動(dòng)的數(shù)。千萬(wàn)不要以為浮點(diǎn)數(shù)就是小數(shù)。因?yàn)椋趈s中是沒(méi)有整數(shù)和小數(shù)的概念的，其實(shí)整數(shù)也是以浮點(diǎn)數(shù)的形式表示的，只是小數(shù)部分為0而已。

浮點(diǎn)數(shù)簡(jiǎn)單理解，就是類似于我們十進(jìn)制中的科學(xué)計(jì)數(shù)法。在計(jì)算機(jī)中一般遵循IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)。格式如下：
(-1)^S * M * 2^E 1. S表示符號(hào)位，當(dāng)S=0時(shí)，為正數(shù)；當(dāng)S=1時(shí)，為負(fù)數(shù)。 2. M表示有效數(shù)字（尾數(shù)），大于等于1，小于2。 3.
E為指數(shù)（也叫階碼）。
因此，上邊的10.25(二進(jìn)制1010.01)按照此格式表示即為 1.01001 * 2^3

對(duì)于32位浮點(diǎn)數(shù)來(lái)說(shuō)，符號(hào)位占一位，指數(shù)位占8位，尾數(shù)占23位
對(duì)于64位浮點(diǎn)數(shù)來(lái)說(shuō)，符號(hào)位占一位，指數(shù)位占11位，尾數(shù)占52位

IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)

注意：IEEE
754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，在保存尾數(shù)M時(shí)，第一位默認(rèn)是1，因此可以被舍去，只存儲(chǔ)后邊的部分。例如，1.01001保存的時(shí)候，只保存01001，等到用的時(shí)候再把1加上去。這樣，就可以節(jié)省一個(gè)位的有效數(shù)字。

指數(shù)E在存儲(chǔ)的時(shí)候也有些特殊。若為32位，指數(shù)占8位，則可表示的大小范圍為0-255 。如為64位，指數(shù)占11位，范圍為0-2047
。但是，指數(shù)是有正有負(fù)的，因此實(shí)際值需要在此基礎(chǔ)上減去一個(gè)中間數(shù)。對(duì)于32位，中間數(shù)為127，對(duì)于64位，中間數(shù)為1023 。

還是以1.01001 * 2^3 為例，若為32位浮點(diǎn)數(shù)，則需要保存成 3+ 127 = 130，即二進(jìn)制的10000010，若為64位浮點(diǎn)數(shù)，則保存成
3+ 1023 = 1026 ，即二進(jìn)制的10000000010。

計(jì)算步驟

好了。巴拉巴拉了這么多。終于，要進(jìn)入我們今天的正題了。

我們看一下 0.1 在計(jì)算機(jī)中是怎么用 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)存儲(chǔ)的。

十進(jìn)制0.1轉(zhuǎn)為二進(jìn)制為0.0001100110011(0011循環(huán))，即
1.100110011(0011)*2^-4，因此符號(hào)位為0，尾數(shù)1.100110011(0011)，階碼為 -4，實(shí)際存儲(chǔ)為 -4+1023 = 1019
的二進(jìn)制 1111111011
0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 S E指數(shù) M尾數(shù)
十進(jìn)制0.2轉(zhuǎn)為二進(jìn)制為0.001100110011(0011循環(huán))，即 1.100110011(0011)*2^-3 ，存儲(chǔ)時(shí)，符號(hào)位為0，尾數(shù)
1.100110011(0011)，階碼為-3，實(shí)際存儲(chǔ)為 -3+1023 = 1020 的二進(jìn)制 1111111100。
0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 S E指數(shù) M尾數(shù)
接下來(lái)，計(jì)算 0.1 + 0.2 。


浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要對(duì)階。即把兩個(gè)數(shù)的階碼設(shè)置為一樣的值，然后再計(jì)算尾數(shù)部分。其實(shí)對(duì)階很好理解，就和我們十進(jìn)制科學(xué)記數(shù)法加法一個(gè)道理，先把指數(shù)部分化成一樣，再計(jì)算尾數(shù)。


另外，需要注意一下，對(duì)階時(shí)需要小階對(duì)大階。因?yàn)?，這樣相當(dāng)于，小階指數(shù)乘以倍數(shù)，尾數(shù)部分相對(duì)應(yīng)的除以倍數(shù)，在二進(jìn)制中即右移倍數(shù)位。這樣，不會(huì)影響到尾數(shù)的高位，只會(huì)移出低位，損失相對(duì)較少的精度。

因此，0.1的階碼為 -4 , 需要對(duì)階為 0.2的階碼 -3 。尾數(shù)部分整體右移一位。
原來(lái)的0.1 0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010
對(duì)階后的0.1 0 01111111100 1100110011001100110011001100110011001100110011001101
然后進(jìn)行尾數(shù)部分相加
0 01111111100 1100110011001100110011001100110011001100110011001101 + 0
01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 = 0
01111111100 10110011001100110011001100110011001100110011001100111
可以看到，產(chǎn)生了進(jìn)位。因此，階碼需要 +1，即為 -2，尾數(shù)部分進(jìn)行低位四舍五入處理。因尾數(shù)最低位為1，需要進(jìn)位。所以存儲(chǔ)為：
0 1111111101 1011001100110011001100110011001100110011001100110100
最后把二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，
二進(jìn)制為： 1.1011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2^-2 轉(zhuǎn)為十進(jìn)制為：
2^-2 * (1*2^0 + 1*2^-1 + 0 + 1*2^-3 + 1*2^-4 + ...) 最終結(jié)果為：
0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125 因?yàn)榫葐?wèn)題，只取到：
0.30000000000000004
問(wèn)題總結(jié)

1.在十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的過(guò)程中，會(huì)產(chǎn)生精度的損失。

2.二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行對(duì)階運(yùn)算時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生精度的損失。

因此，最終結(jié)果才產(chǎn)生了偏差。

看完的小伙伴，現(xiàn)在應(yīng)該能理解，為什么0.1 + 0.2 ≠ 0.3 這個(gè)問(wèn)題了吧。

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